Le tavole di verità (anche tabelle di verità) sono tabelle usate nell’ambito della logica per determinare se, attribuiti i valori di verità alle proposizioni che la compongono, una determinata proposizione è vera oppure falsa.
Se abbiamo n proposizioni, a seconda che possano essere vere o false, avremo n2 possibilità; per esempio, per n=3 avremo v, v, v oppure v, f, f ecc.
Particolarmente interessante la tavola di verità con due proposizioni; avremo 4 possibilità:
| v | v |
| v | f |
| f | v |
| f | f |
Negazione – NOT
Negare una proposizione significa di fatto invertirne la verità/falsità. La negazione di una proposizione si indica premettendo il simbolo ¬; per cui ¬ p indica la negazione della proposizione p.
La tavola di verità sarà:
| p | ¬ p |
| v | f |
| f | v |
Congiunzione – AND
La congiunzione logica (informaticamente AND) è un’applicazione su due proposizioni (binaria), definita secondo la seguente tabella di verità.
L’operazione si indica con il simbolo ˄ (et).
| p | q | p˄q |
| v | v | v |
| v | f | f |
| f | v | f |
| f | f | f |
La tavola di verità si esprime dicendo che la congiunzione logica è vera se e solo se p e q sono vere (la congiunzione e indica la relazione logica). Le verità di p e di q sono condizioni necessarie affinché la congiunzione sia vera; singolarmente, ognuna di esse non è però sufficiente.
Simboli di operatori logici
Disgiunzione inclusiva – OR
La disgiunzione inclusiva (informaticamente OR) è un’applicazione su due proposizioni, definita secondo la seguente tabella di verità. L’operazione si indica con il simbolo ˅ (vel).
| p | q | p˅q |
| v | v | v |
| v | f | v |
| f | v | v |
| f | f | f |
La tavola di verità si esprime dicendo che la disgiunzione inclusiva è vera se almeno una delle due proposizioni è vera (p o q, la congiunzione o indica la relazione logica). p e q sono condizioni sufficienti affinché la congiunzione sia vera; non è necessario che siano entrambe vere.
Disgiunzione esclusiva – XOR
La disgiunzione esclusiva (informaticamente XOR) è un’applicazione su due proposizioni, definita secondo la seguente tabella di verità. L’operazione si indica con il simbolo seguente (aut):
| p | q | pautq |
| v | v | f |
| v | f | v |
| f | v | v |
| f | f | f |
La tavola di verità si esprime dicendo che la disgiunzione esclusiva è vera solo se solo una delle due proposizioni è vera. Indica il caso in cui si indicano due possibilità e ci si aspetta che solo una delle due possa essere soddisfatta. Per esempio: “vado a scuola oppure me ne sto a casa”. Se sono vere entrambe, la proposizione risultante è manifestamente falsa, vista l’impossibilità di essere contemporaneamente in due posti diversi.
Implicazione materiale
L‘implicazione materiale si indica con il simbolo p→q che si legge p implica q oppure se p allora q. L’implicazione materiale di due proposizioni p e q è una proposizione che è falsa se p è vera e q è falsa, ed è vera in tutti gli altri casi. La tavola di verità è la seguente:
| p | q | p→q |
| v | v | v |
| v | f | f |
| f | v | v |
| f | f | v |
Si deve notare che non c’è nessun rapporto di causa-effetto fra p e q, ma l’implicazione materiale indica solo un collegamento fra le due proposizioni dato dalle tavole di verità. In questo la logica matematica differisce dal linguaggio quotidiano.
Deduzione logica
Per riavvicinarsi al quotidiano, introduce il concetto deduzione logica che viene indicato con p⇒q. Qui non c’è nessuna tavola di verità, ma solo un rapporto di causa-effetto, tipico, per esempio, della dimostrazione dei teoremi. Se p⇒q, diremo che dall’essere vera p segue che è vera anche q.
p è l’antecedente e q è il conseguente. Per esempio:
p= Mario è un medico;
q= Mario è laureato;
se p⇒q si scrive (Mario è un medico)⇒(Mario è laureato).
Come si vede, la deduzione logica esprime quella che nel linguaggio naturale è una condizione sufficiente.
Coimplicazione logica
Anche la coimplicazione è una relazione puramente formale. Essa si indica con il simbolo p↔q che si legge p coimplica q. La coimplicazione logica di due proposizioni p e q è una proposizione che è falsa se una delle due proposizioni è vera e l’altra è falsa, ed è vera in tutti gli altri casi. La tavola di verità è la seguente:
| p | q | p↔q |
| v | v | v |
| v | f | f |
| f | v | f |
| f | f | v |
Anche in questo caso si deve notare che non c’è nessun rapporto di causa-effetto fra p e q, ma la coimplicazione logica indica solo un collegamento fra le due proposizioni dato dalle tavole di verità.
Doppia deduzione logica
Per stabilire un nesso di causa-effetto più forte di quello stabilito dalla deduzione logica si usa la doppia deduzione logica, indicata con p⇔q. Se p⇔q, diremo che se e solo se p è vera allora q è vera. Sostanzialmente p⇔q è l’unione di due condizioni p⇒q e q⇒p.
In matematica, quando si dimostrano teoremi, p è spesso l’ipotesi e q la tesi. Una doppia deduzione logica può essere per esempio:
p=i numeri naturali pari (divisibili per 2) terminano per 0, 2, 4, 6, 8;
q= i numeri naturali che terminano per 0, 2, 4, 6, 8 sono pari.
Nel linguaggio comune la doppia deduzione logica esprime una condizione necessaria e sufficiente. Nell’esempio, condizione necessaria e sufficiente per cui un numero naturale sia pari è che termini per 0, 2, 4, 6 oppure 8.
Tautologie e contraddizioni
Date due proposizioni semplici p e q avremo una tautologia quando la proposizione composta è sempre vera, mentre avremo una contraddizione quando è sempre falsa.
Una tautologia si esprime facilmente da due proposizioni semplici che completano una situazione, per esempio, “tutte le persone di questa stanza sono maschi oppure c’è almeno una persona che non lo è”. La proposizione risultante è sempre vera, qualunque sia la composizione dei presenti nella stanza.
Per esprimere una contraddizione basta unire due proposizioni semplici mutuamente esclusive con una “e”; per esempio: “Mario è un bipede e un quadrupede”.
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