Il termine probabilità è sicuramente noto a tutti, ma pochi sanno darne una definizione chiara e immediata. Un primo motivo di questa difficoltà risiede nel fatto che ci sono diversi modi di intendere la probabilità.
Un modo sicuramente discutibile è quello che identifica la probabilità con il grado di credenza di un singolo evento. Frasi come “c’è il 30% di probabilità che la squadra X batta la squadra Y” esprimono una credenza basata non tanto su dati statistici quanto sull’esperienza di chi la esprime. Questa interpretazione soggettivistica ha alcuni problemi.
Il primo, non grave e teoricamente superabile, è il rispetto delle leggi del calcolo delle probabilità, per esempio che la somma delle probabilità di un insieme di alternative esaustivo ed esclusivo debba essere uguale a 1. In realtà, quando le alternative sono molte, le probabilità per credenza sono date a caso. Se nel caso della squadra si comprende che se il 30% è la probabilità di X di vincere, la somma delle probabilità del pareggio e della sconfitta deve essere il 70%, quando si considera, per esempio, la probabilità di non retrocedere delle ultime 5 squadre in base ai risultati delle ultime 4 partite di campionato di cui si vanno a “stimare” le probabilità dei risultati, si scopre molto spesso che alla fine la somma delle probabilità di salvezza delle squadre coinvolte non è conforme alle leggi generali del calcolo delle probabilità (soprattutto se, per esempio, si salvano due squadre): un utile esercizio che si può fare leggendo un qualunque giornale sportivo alla fine del campionato di calcio.
Il secondo problema è più grave; che la probabilità sia del 30% o del 20% o del 40% è tutto da dimostrare.
Il terzo problema è quello che definitivamente condanna la definizione soggettivistica: partendo dal secondo punto, non è possibile trattare l’argomento (probabilità di vittoria della squadra X nell’incontro con Y) con tecniche statistiche perché si tratta di un evento singolo, che non ha caratteristiche di regolarità e ripetibilità. Certo, possiamo dire statisticamente che negli ultimi 20 campionati X ha battuto Y solo nel 30% dei casi, ma tutti capiscono che da questo dato non si può desumere nulla sul prossimo incontro poiché le condizioni (per esempio, le formazioni delle squadre) sono cambiate.
Se la definizione soggettivistica di probabilità è troppo ampia, quella basata sulla propensità è troppo ristretta. Le propensità sono proprietà degli oggetti studiati, per esempio la simmetria cubica di un dado. La struttura di riferimento dà la probabilità di un evento, per cui, per esempio, diciamo che c’è 1/6 di probabilità che esca il 3.
Purtroppo le propensità non sono poi così comuni ed è necessario essere un po’ più elastici e riferirsi ai fenomeni cercando di individuare comunque caratteristiche di prevedibilità interagendo con essi, cioè facendo esperimenti. Ecco allora che la probabilità si identifica con le frequenze di un grande numero di osservazioni.
Lanciando un dado non truccato, la probabilità che esca un numero pari è 3/6 = 1/2
Definizioni matematiche di probabilità
Vediamo le principali definizioni di probabilità che sono note dalla matematica. La prima, quella classica, risale a Laplace e definisce la probabilità di un evento come
il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all’evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti equiprobabili.
La seconda, quella frequentista, risale a von Mises e definisce la probabilità di un evento come
il limite cui tende la frequenza relativa dell’evento al crescere del numero degli esperimenti.
Nota infine è poi la definizione assiomatica di Kolmogorov che, peraltro, non consente di calcolare la probabilità.
Tutte le definizioni hanno problemi. La definizione di von Mises è sostanzialmente equivalente a quella che definiamo “empirica” (cioè collegata con la realtà e quindi al di fuori di ogni discorso teorico); quella di Kolmogorov è piuttosto astratta. Per chi volesse trovare un fondamento logico (non empirico) al concetto di probabilità non resta che quella classica di Laplace, ma è evidente la circolarità della definizione: che senso ha definire la probabilità parlando di eventi equiprobabili? Inoltre un’altra difficoltà sorge quando il numero dei casi possibili è infinito.
Probabilità classica
Utilizzando la definizione classica è immediato risolvere molti problemi comuni. Per esempio, qual è la probabilità che con il lancio di due dati esca un 11?
Dal calcolo combinatorio sappiamo che i casi possibili sono 36 (62); otteniamo un 11 solo con le due combinazioni 5 e 6 e 6 e 5, Quindi abbiamo 2 casi favorevoli su 36, la probabilità è 1/18.
Probabilità contraria
La probabilità contraria è definita come la probabilità che l’evento non accada. Poiché un evento accade o non accade, la somma della sua probabilità e della probabilità contraria deve dare l’unità:
p+q=1.
Probabilità totale
Se due eventi si escludono a vicenda (per esempio, l’uscita del 2 e quella del 6 nel lancio di un dado), si dice che i due eventi sono mutuamente esclusivi.
In un mazzo di carte sono mutuamente esclusivi l’uscita di una picche e di una fiori, mentre non lo sono l’uscita di una figura e di una cuori.
Principio della probabilità totale – Se A e B sono mutuamente esclusivi, la probabilità di ottenere A o B è uguale alla somma della probabilità di A più la probabilità di B.
P(AoB)=P(A)+P(B).
Cosa accade se gli eventi non sono mutuamente esclusivi? La formula della probabilità totale diventa:
P(AoB)=P(A)+P(B)-P(AeB)
dove P(AeB) indica la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi. Nel caso dell’estrazione di una figura e di una cuori, avremo P(A)=12/52, P(B)=13/52, mentre P(AeB) sarà 3/52, cioè le 3 figure di cuori (che non devono essere contate due volte!). Quindi P(uscita di una figura o di un cuori)=22/52.
Probabilità composta
La probabilità composta è la probabilità che due eventi A e B accadano uno dopo l’altro.
L’evento A è indipendente dall’evento B se il fatto che si verifichi B non altera le probabilità dell’evento A:
P(A)=P(A|B)
dove l’espressione P(A|B) indica la probabilità condizionata dell’evento A, posto che B si sia verificato.
Se l’evento B è indipendente dall’evento A (nel senso che l’esito dell’esperimento che ha originato B è indipendente dall’esito dell’esperimento che ha originato A), la probabilità composta è data da:
P(AeB)=P(A)*P(B)
cioè dal prodotto delle due probabilità.
Importante notare che i lanci di una moneta sono indipendenti; all’i-esimo lancio la probabilità di uscita di croce resta 1/2, indipendentemente da ciò che è avvenuto nei lanci precedenti. Quindi, la probabilità che in 3 lanci successivi si ottengano 3 testa sarà 1/8 (1/2*1/2*1/2).
Più complesso il caso di due eventi dipendenti. Si supponga di studiare la probabilità di estrarre due numeri che finiscono per 8 dalla tombola in due estrazioni consecutive (senza ovviamente reimmettere il primo numero estratto). La probabilità di estrarre un numero finale 8 al primo colpo è di 9/90, ovvio. Al secondo colpo, se al primo abbiamo estratto un finale 8, avremo 8/89 probabilità di estrarre un altro finale 8. Quindi, la probabilità composta di avere un finale 8 alla prima estrazione e un finale 8 alla seconda è data dal prodotto della probabilità del primo evento per la probabilità del secondo, posto che il primo si sia verificato:
P(AeB)=P(A)*P(B|A).
L’espressione P(B|A) è la probabilità condizionata dell’evento B, posto che A si sia verificato (nel nostro caso 8/89). Quindi, la probabilità di estrarre due finali 8 consecutivi è 9/90*8/89.
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