La probabilità assiomatica è un altro modo per descrivere la probabilità di un evento. Come dice la parola stessa, in questo approccio, alcuni assiomi sono predefiniti prima di assegnare le probabilità. Ciò permette di quantificare l’evento e quindi di facilitare il calcolo dell’occorrenza o del non verificarsi dell’evento.
Sia dato un insieme S di eventi elementari e la famiglia E di sottoinsiemi di S tale che valgano le proprietà:
S è un elemento dell’insieme E;
se A e B sono sottoinsiemi di S e sono elementi di E allora lo sono anche i loro complementari, la loro unione (pensata come somma) e la loro intersezione (pensata come prodotto).
E è il campo di eventi.
Sono definibili gli assiomi:
Con S finito, a ogni evento A è associato un numero P(A) se valgono i seguenti assiomi:
- P(A)≥0
- P(S)=1
- Se A e B sono eventi incompatibili (cioè A∩B=Ø) allora P(A∪B)=P(A)+P(B).
Il numero reale P(A) è detto probabilità dell’evento A.
Si devono al matematico russo Andrej Nikolaevič Kolmogorov gli assiomi del calcolo probabilistico (fonte dell’immagine: Wikimedia Commons)
Proprietà e teoremi
Cominciamo con alcuni enunciati molto intuitivi.
- La probabilità dell’evento impossibile è nulla; P∅)=0.
- La probabilità di un evento è uguale a 1 meno quella dell’evento contrario, Formalmente, dato un qualunque insieme A appartenente ad S, 1=P(S)=P(A∪AC)=P(A)+P(AC); da questa si ricava appunto P(A)=1-P(AC).
- La probabilità di un evento è sempre compresa fra 0 e 1.
- Se A è contenuto in B, allora la probabilità dell’evento A è minore della probabilità dell’evento B.
Additività – La probabilità che si verifichi l’evento A oppure l’evento B è data dalla somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità del loro verificarsi in contemporanea (nel caso in cui gli eventi siano incompatibili, cioè o si verifica l’uno o si verifica l’altro, tale probabilità è nulla):
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
Proprietà condizionata – Si definisce probabilità condizionata dell’evento B rispetto all’evento A la probabilità che si verifichi l’evento B dopo che si è verificato l’evento A; si indica con P(B|A). Si può dimostrare che
P(B|A)= P(A∩B)/P(A).
Formula analoga vale per P(A|B).
Proprietà moltiplicativa – La probabilità del prodotto di due eventi à uguale al prodotto fra la probabilità del primo e la probabilità del secondo condizionata al fatto che il primo evento sia accaduto:
P(A∩B)=P(A)·P(B|A)=P(B)·P(A|B).
Si supponga di calcolare la probabilità che da un mazzo di 52 carte si estraggano di seguito due assi. P(A) varrà 4/52 mentre P(B|A) varrà 3/51, quindi 12/(52·51) cioè il 4,52% circa.
Teorema della probabilità totale – Se gli eventi A e B sono tra loro mutualmente incompatibili ed E è un evento che può accadere solamente associato a uno dei due precedenti, allora vale il teorema della probabilità totale:
P(E )=P(A)·P(E|A)+P(B)·P(E|B).
Il teorema può essere generalizzato con n eventi. Per esempio, se si lancia un dado, e si indicano con A1…A6 gli eventi “esce 1”, …, “esce 6”, gli eventi sono a due a due incompatibili e hanno ciascuno probabilità pari a 1/6. La probabilità dell’evento “ottengo un numero maggiore di 4” è P(A5∪A6)=1/6+1/6=1/3.
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