Polinomi - Operazioni - Scomposizione

Un polinomio è la somma algebrica di monomi non simili tra loro, vale a dire con parti letterali diverse. Esempi di polinomi sono:

3x+y
3x²+x
4x²y³-3xz
10x³y-7y².

A seconda del numero di monomi, si parla di binomi (2 monomi), trinomi (3), quadrinomi (4).

Un polinomio è ridotto in forma normale se è stato semplificato, sono stati accorpati i suoi termini simili, sono stati eliminati gli eventuali monomi nulli, Per esempio, 3x+8y²+2x-4y+y² ridotto in forma normale diventa 5x-4y+9y².

Un polinomio è detto omogeneo se è la somma di monomi dello stesso grado. Per esempio, 8xy+4mn è un polinomio omogeneo di secondo grtado.

Il grado di un polinomio è uguale al grado del suo monomio di grado più alto. Negli esempi sopraccitati il grado è rispettivamente 1, 5, 4.

Un polinomio si dice completo rispetto a una variabile, se osservando tutti i termini del polinomio di quella variabile e partendo dal termine di grado più elevato rispetto a quella variabile, il polinomio contiene tutti i termini di grado inferiore fino a zero. Per esempio, 4x²-2x-1 è completo, mentre 5y³-2y²+3 no (manca la potenza a esponente uno di y).

Il termine noto di un polinomio ridotto in forma normale è l’unico monomio (se esiste) di grado zero, cioè non contenente variabili. Per esempio, nel polinomio 5y³-2y²+3 il termine noto è 3.

Il concetto di identità di polinomi è del tutto intuibile. Principio di identità dei polinomi: due polinomi ridotti in forma normale sono identici se e solo se sono di ugual grado e i coefficienti dei termini dello stesso grado sono uguali. Per esempio, 4x²+3x-2x+1 e 5x²-x²+x+1 sono identici.

Operazioni fra polinomi

Addizione e sottrazione – Si fanno normalmente sommando e sottraendo i monomi simili, lasciando cadere prima le parentesi (ricordando che il segno meno davanti alla parentesi cambia, per la regola dei segni, il segno ai monomi contenuti nella parentesi). Per esempio, 2x²+xy-y²-(-3x²+4x-2y²-5y) fa 5x²-4x+xy+y²+5y.

Esempio di moltiplicazioni di un monomio per un polinomio

Moltiplicazione – Se si fa il prodotto di un monomio per un polinomio basta applicare la proprietà distributiva: 3x²(4x+y) fa 12x³+3x²y. Se si fa il prodotto di due polinomi basterà moltiplicare tutti i monomi del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio e poi fare la somma. Per esempio:

(2x+y)(3x²+2x+xy+y)=6x³+4x²+2x²y+2xy+3x²y+2xy+xy²+y²=6x³+4x²+5x²y+4xy+xy²+y².

Esistono dei prodotti (denominati notevoli) che semplificano molto l’approccio al calcolo polinomiale.

(x+y)(x-y)=x²-y²

(x-y)( x²+xy+y²)=x³-y³

(x+y)²=x²+2xy+y²

(x-y)²= x²-2xy+y²

(x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz

(x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³

(x-y)³=x³-3x²y+3xy²-y³

(x+a)(x+b)= x²+(a+b)x+ab.

L’ultimo prodotto notevole richiede un minimo di attenzione per notare che un trinomio della forma x²+sx+p è facilmente scomponibile se si trovano due numeri per cui s è la somma di a e b mentre p è il prodotto di a e b.

Divisione tra polinomi – Per eseguire la divisione fra un polinomio e un monomio basterebbe dividere tutti i termini del polinomio per il monomio. In realtà, come nel caso dei monomi, non sempre la divisione è possibile. Se poi si considerano due polinomi, anche se la divisione è possibile come nel caso di (2x²+3x+4)/(2x+1), i metodi (metodo canonico, triangolo di Tartaglia, metodo di Ruffini) sono molto complessi e raramente sono impiegati in applicazioni pratiche.

Scomposizione di polinomi

I polinomi possono essere molto complessi per cui è utile sempre rappresentarli nella forma più semplice possibile, cioè scomporli in entità più facilmente maneggiabili. Per scomposizione di polinomi s’intende appunto l’espressione di un polinomio come prodotto di due o più fattori polinomiali di grado inferiore. La scomposizione di polinomi è anche detta fattorizzazione di polinomi.

Ciò risulta molto utile quando, per esempio, i polinomi si presentano come frazioni. Per esempio, (x²-6xy+9y²)/(x-3y) si può semplificare notando che il numeratore si può scrivere come (x-3y)² e quindi (x-3y)²/(x-3y)=x-3y che è una forma molto più gestibile della frazione di partenza.

Per un polinomio qualunque la scomposizione si avvale di metodi complicati che sono utilizzati in ambito prettamente matematico. Da un punto di vista pratico, la scomposizione dei polinomi avviene per:

Raccoglimento a fattore comune;
Uso dei prodotti notevoli.

Il raccoglimento a fattori comune è un’operazione matematica che consente di mettere in evidenza una parte letterale o una serie di numeri che moltiplica tutto ciò che la segue. Si divide in totale e parziale. Nella pratica è l’equivalente della scomposizione in fattori primi di un numero.

Se la parte comune è evidente, il tutto è abbastanza immediato, per esempio, xy+xz può essere scritto come x(y+z).

Il raccoglimento parziale si ha quando non tutti i termini di un polinomio hanno dei fattori comuni, per esempio: ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(x+y)(a+b).

Un esempio dell’uso dei prodotti notevoli è, per esempio, il polinomio x³-6x²y+12xy²-8y³. Ricordando che ha la forma di un prodotto notevole, è immediato scomporlo come (x-2y)³.

Per esempio, usando il trinomio notevole (x+a)(x+b)= x²+(a+b)x+ab dove come coefficienti ho la somma e il prodotto di due numeri, si ottiene subito la scomposizione di un polinomio come x²+5x+6 in (x+2)(x+3). Analogamente, nel polinomio x²+2x-8 i due numeri coinvolti sono 4 e -2, quindi sarà scomposto in (x+4)(x-2). Nel caso di x²+12x+20, possiamo prendere come numeri 2 e 10 (la loro somma è 12), pertanto possiamo scrivere: x²+12x+20=(x+2)(x+10).

Approfondimenti

Esercizi

A – Somma e differenza

(a+2b+4c)+(2a+b+3c)

(-10r²+7s²-5t²)-(9²r-6s²+5t²)

(x⁴+3x³-x²+x-1)-(x³+x²-x+1)

B – Prodotto di un monomio e un polinomio

-2(x+2y-3z)

2x(ab-bc+ac)

(f-g+5h)(-7m+f²)

C – Semplificazione di polinomi

1-[2(3a-2b)+3(2a-3b)]

-8a-{8a-[-8a-(-8a)]}

(x²+y²)x-xy(2y)

D – Divisione fra un polinomio e un monomio

20x²y⁶x²⁸:4x²y⁵z

(8m³-6m²-8mn):4m

E – Divisione fra polinomi

(2x³+3x²+x+6):(x+2)

(9x³+18x²-18x+9):(3x-3)

(6x³-7x²+5):(2x-1)

Le risposte in fondo alla pagina

Scomposizione di polinomi

Molto utile il concetto di trinomio notevole.

I trinomi di secondo grado del tipo ax²+bx+c possono essere scomposti come a(x-m)(x-n) dove m e n sono le le soluzioni dell’equazione di secondo grado: ax²+bx+c=0

Per chi volesse utilizzare un software di scomposizione di polinomi online per verificare i propri esercizi può consultare questo sito.

Minimo comune multiplo (m.c.m.) fra due polinomi e massimo comun divisore (M.C.D.)

Il minimo comune multiplo tra polinomi (m.c.m.) scomposti in fattori irriducibili è dato dal prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente.

Esempio:

Trovare il m.c.m. di 4x²−16 e 6x²−24x+24.

1) Scomporre i polinomi in fattori irriducibili:

4x²−16=4(x²−4)=2²(x+2)(x−2)

6x²−24x+24=6(x²−4x+4)=2^.3(x−2)²

2) Scrivere il m.c.m. scrivendo ogni fattore alla massima potenza preso una sola volta

m.c.m=2^2.3(x+2)(x-2)²=12(x+2)(x-2)²

Il massimo comun divisore tra polinomi (M.C.D.) scomposti in fattori irriducibili è dato dal prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta, con il minimo esponente.

Esempio

Trovare il M.C.D. di x³+x²+x+1 e x³+1

1Scomporre i polinomi in fattori irriducibili:

x³+x²+x+1=(x+1)(x²+1)

x³+1=(x+1)(x²+x+1)

2Scrivere il M.C.D. prendendo i fattori comuni una sola volta con il minimo esponente:

M.C.D.=x+1