La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano per cui è uguale la distanza da un punto fisso F (fuoco) e da una retta fissa (direttrice). Il termine “parabola” è utilizzato anche nel linguaggio comune per indicare un racconto con valenza morale (la parola deriva dal latino e significa confronto, similitudine); il termine latino a sua volta derivava dal greco parabállein (mettere di fianco, confrontare). Parabállein proviene, a sua volta, da pará (di fianco) e bállein (lanciare). Il significato matematico della parola deriva appunto dal16 fatto che in balistica (termine a sua volta derivato da bállein) un proietttile quando cade ha una traiettoria parabolica.
L’equazione di questa curva con asse verticale e vertice nell’origine è:
y=ax2
dove le coordinate del fuoco sono (0, 1/4a).
In generale si definisce vertice il punto d’intersezione tra asse di simmetria e la curva stessa:
Se a è maggiore di zero la curva ha concavità rivolta verso l’alto, altrimenti verso il basso.
Formule ed equazioni della parabola
Le formule di calcolo che riguardano la parabola sono diverse a seconda che la curva abbia l’asse di simmetria verticale oppure orizzontale.
Una parabola con asse verticale ha equazione
y=ax2+bx+c, con a sempre diverso da 0
Per conoscere le coordinate del fuoco e del vertice, è utile calcolare il discriminante 
dell’equazione di secondo grado in x che rappresenta la curva. Il discriminante è definito come
b2 – 4ac
l’equazione della direttrice è espressa da
Il vertice ha coordinate
Mentre il fuoco ha coordinate
L’equazione di una parabola con asse orizzontale è invece
x=ay2+by+c, con a sempre diverso da 0
e le formule sono assai simili alle precedenti, scambiando tra loro ascisse e ordinate:
L’equazione della direttrice è espressa da
Il vertice ha coordinate
Mentre il fuoco ha coordinate
Approfondimenti
Esercizi
1
Calcolare le coordinate del vertice della parabola di equazione
y = – x 2 + 2 x + 3
2
Trovare le coordinate di vertice e fuoco della parabola di equazione
y = 8(x – 5)2 + 2
3
Trovare le coordinate di vertice e fuoco della parabola di equazione
(y + 5)2 = -8(x + 4)
4
Tracciare il grafico della seguente curva
y = (x+4)2 -3
5
Calcolare il vertice della curva
4x2−4x+1
e tracciarne il grafico
6
Calcolare il vertice della parabola
-3x2+3x+3
e tracciarne il grafico
Le soluzioni in fondo alla pagina
Ulteriori approfondimenti: posizioni relative tra retta e parabola
Importante è capire le posizioni relative di una retta rispetto a una parabola data. La retta può essere infatti
- secante, quando la interseca in due punti reali e distinti
- tangente, quando la interseca in due punti coincidenti
- esterna (o disgiunta) quando non la interseca in nessun punto
Per sapere se una retta è secante, tangente o disgiunta occorre risolvere il sistema composto dalle due equazioni. Per esempio, la retta di equazione y= 6x – 7 e la parabola y = x2 +2x -3 dà luogo all’equazione di secondo grado:
x2 +2x -3 -6x +7 = 0
ovvero
x2 – 4x +3 = 0
Essendo il determinante dell’equazione nullo, si ha una sola soluzione e la retta è tangente alla parabola nel punto (2,5).
Soluzioni
1
V = (1,4)
2
V = (5,2)
F = (5,4)
3
V=(-4,-5)
F = (-6,-5)
4
5
V = (1/2,0)
6
V = (1,6)
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