I numeri razionali formano una classe; se consideriamo due insiemi di numeri razionali, diremo che essi formano due classi contigue se:
- ogni elemento della prima classe è sempre inferiore a ogni elemento della seconda classe (separazione);
- si può scegliere un elemento del primo insieme e un elemento del secondo insieme in modo che la loro differenza sia minore di un qualunque numero piccolo a piacere (avvicinamento indefinito).
Si può dimostrare che due classi contigue ammettono uno e un solo elemento separatore.
Si può visualizzare quanto appena detto facendo convergere le due serie di numeri verso il numero separatore. Per esempio, il primo insieme costituito da 3, 3,14, 3,141, 3,1415, 3,14159 ecc. (sono le approssimazioni successive del pi greco, il rapporto tra la misura della lunghezza della circonferenza e la misura della lunghezza del diametro di un cerchio; qui utilizziamo la nozione decimale, ma ovviamente potremmo scrivere i numeri come numeri razionali, per esempio: 3,14=314/100), mentre il secondo insieme lo otteniamo aggiungendo via via 1, 0,1, 0,01, 0,001 ecc.: 4, 3,15, 3,142, 3,1416, 3,14160. Le due classi sono contigue e il numero separatore che si ottiene è proprio il pi greco.
Si definisce numero reale l’elemento separatore di due classi contigue di numeri razionali.
Per quanto detto sopra, l’insieme dei numeri reali contiene quello dei razionali che a sua volta contiene quello degli interi che contiene quello dei numeri naturali.
Un numero reale non razionale è detto irrazionale (come, per esempio, la radice quadrata del numero 2).
Una volta definito il concetto di numero reale si può stabilire una relazione fra l’aritmetica e l’analisi e la geometria associando ai numeri reali i punti della retta reale (e viceversa) sulla quale i numeri negativi stanno a sinistra dell’origine (lo zero) e quelli positivi a destra.
Rappresentazione decimale
Abbiamo visto che, praticamente, i numeri reali possono essere descritti come numeri ai quali è possibile attribuire uno sviluppo decimale finito o infinito, cioè utilizzando 10 cifre (per questo la numerazione decimale è detta in base 10).
Un numero decimale è un numero formato da due parti divise da una virgola: la parte a sinistra della virgola è la parte intera, mentre la parte a destra è la parte decimale.
Dato un numero reale, per esempio 154,82, esso può essere rappresentato come: 1×100+5×10+4×1+8×0,1+2×0,01. Nel numero preso a esempio avremo 1 che rappresenta le centinaia, 3 le decine, 4 le unità, 8 i decimi e 2 i centesimi.
Dati due numeri reali a e b, è maggiore quello che ha parte intera maggiore; se la parte intera è uguale, si confrontano le cifre della parte decimale a partire da quella più vicina alla virgola. Quando si incontrano due cifre (nella stessa posizione) diverse, a quella più grande corrisponderà il numero più grande; per esempio, 53,24 è maggiore di 53,2398.
Operazioni fra numeri reali
Anche per i numeri reali si definiscono le operazioni che abbiamo visto per i numeri interi. Con la notazione decimale, l’unica difficoltà consiste nel porre correttamente la virgola del risultato.
Addizione e sottrazione – Si devono scrivere i due numeri come se avessero lo stesso numero di cifre decimali, riempiendo eventualmente di zeri la parte decimale del numero che ha meno cifre decimali. Per esempio: 12,43-11,7=12,43-11,70. Poi si trasformano in interi (equivale a moltiplicare per 10, 100, 1000 ecc. a seconda di quante sono le cifre decimali) e si fa l’operazione fra interi: 1243-1170=73. Si aggiunge poi la virgola per quante posizioni avevano gli operandi. Nel nostro caso due posizioni, per cui ,73 o, meglio, per specificare che non c’è parte intera, 0,73.
Moltiplicazione – Si moltiplicano i due numeri come se fossero interi e poi si inserisce la virgola sommando le posizioni decimali dei due numeri. Per esempio, nel caso di 12,4×3,52, il prodotto fra interi fa 43648 e, poiché abbiamo come somma delle posizioni decimali 3, il risultato sarà 43,648.
Divisione – Vale sempre che il numero reale c risultato della divisione fra a e b è tale per cui a=b×c. Vediamo un metodo generale per la divisione dei reali con rappresentazione decimale. Supponiamo di dividere due numeri a e b. Se b non è intero, si moltiplicano entrambi per la potenza di 10 che ha come esponente il numero di cifre decimali del numero che ne ha di più. Alcuni esempi:
352: 2,4 -> 3520:24
34,76:12,1 -> 3476:1210
43,18:6-> 4318:600
Iniziamo a svolgere l’operazione normalmente, scrivendo quante volte il divisore intero sta nel dividendo. Se non otterremo un resto pari a 0, potremo essere più o meno precisi o approssimati a seconda di quanti decimali vogliamo attribuire al nostro quoziente. Per esempio, nell’ultimo caso 600 sta nel 4318 7 volte con resto 118. Dopo il 7 si inserisce la virgola e si moltiplica il resto per 100; a questo punto 600 sta nel 1180 una sola volta (quindi la prima cifra decimale è 1 e finora ho 7,1) con resto 580. Rimoltiplico il resto per 10 e trovo che 600 sta in 5800 9 volte (quindi la seconda cifra decimale è 9 e finora ho 7,19) e così di seguito finché trovo come resto zero o l’approssimazione desiderata (per esempio, 4 cifre decimali) è raggiunta.
Elevamento a potenza – Praticamente ha senso considerare solo casi in cui l’esponente è razionale; per tali casi valgono le stesse regole che valgono per la base reale; in particolare se r è un numero reale qualunque: 1r=1 e r0=1 (con r≠0).
Per il segno del risultato delle operazioni fra reali appena viste, valgono le stesse regole introdotte per gli interi e per i razionali.
In particolare, permane il problema che non è definibile internamente ai reali la radice di un numero negativo. Per poterne dare una definizione è necessario ampliare ancora l’insieme introducendo i numeri complessi.
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