La divisione ha introdotto la difficoltà del resto. 3:2 non si risolve riconducendosi a un numero intero e l’operazione risulta esterna; certo possiamo dire che fa 1 con il resto di 1, ma dobbiamo introdurre un quarto elemento.
Se abbiamo 3 mele e vogliamo dividerle fra due persone, ecco che a tutti sarà chiaro che a ogni persona toccherà una mela e mezzo.
Se torniamo alla rappresentazione degli interi come punti equispaziati di una retta, possiamo capire che fra due numeri possa esserci “qualcosa”, altri numeri. Riempiamo lo spazio esistente fra i numeri interi degli infiniti risultati che si ottengono dalle possibili divisioni fra numeri interi.
Un numero razionale è un numero ottenibile come rapporto (frazione) tra due numeri interi, il secondo dei quali diverso da 0. Ogni numero razionale, quindi, può essere espresso mediante una frazione a/b, di cui a è detto numeratore e b è detto denominatore.
Equivalenza
Dividendo due mele in quattro persone o una mela in due si arriva sempre a mezza mela a testa, quindi 2/4 equivale a 1/2.
Due frazioni si dicono equivalenti se è possibile trasformarle l’una nell’altra moltiplicando e dividendo numeratore e denominatore per lo stesso numero; per esempio, 3/7 è equivalente a 12/28.
Ridurre la frazione ai minimi termini vuol dire scriverla nella forma più semplice possibile dividendo numeratore e denominatore per lo stesso numero. 12/28 ridotta ai minimi termini si scrive 3/7.
Addizione
Per eseguire l’addizione fra numeri frazionari:
- Se le due frazioni hanno lo stesso denominatore, si fa la somma dei termini sopra (numeratori).
- Se le due frazioni non hanno lo stesso denominatore, si trasformano in due frazioni equivalenti che abbiano lo stesso denominatore, poi si procede come in 1.
Per esempio: 15/98+7/30. Considerando i due denominatori, 98 e 30, è necessario trovare un numero che sia multiplo dei due denominatori e, per facilitare i calcoli, scegliamo il più piccolo (minimo comune multiplo, m.c.m.). Per trovare il minimo comune multiplo di due numeri a e b si scompongono i due numeri in fattori primi e si moltiplicano i fattori primi comuni e non comuni, ciascuno preso una sola volta con il massimo esponente. Per esempio, il m.c.m. di 98 e 30 è 1470 (infatti, 98=2×72 e 30=2x3x5, quindi si devono moltiplicare 2, 72, 3 e 5).
Pertanto le due frazioni equivalenti di 15/98 e 7/30 sono 225/1470 e 343/1470, quindi la somma sarà 568/1470 che, ridotta ai minimi termini (il MCD di 568 e 1470 è 2), è equivalente a 284/735.
Sottrazione
Valgono le stesse regole citate per l’addizione, con l’avvertenza che si fa la differenza fra i numeratori. Per esempio, 7/18-3/10=35/90-27/90=8/90=4/45, visto che il m.c.m. di 18 e 10 è 90 e il MCD di 8 e 90 è 2.
Moltiplicazione
Il prodotto fra numeri frazionari si ottiene moltiplicando il numeratore con il numeratore e il denominatore con il denominatore. Per esempio, (3/4)×(2/7)=6/28=3/14.
Divisione
La divisione fra numeri frazionari si ottiene moltiplicando la prima frazione per l’inverso della seconda. Per esempio, (3/4):(2/7)=(3/4)×(7/2)=21/8.
Elevamento a potenza
L’elevamento a potenza di una frazione si ottiene elevando a potenza sia il numeratore sia il denominatore. Per esempio, (3/4)2=9/16.
Poiché stiamo considerando numeri razionali, dobbiamo esaminare anche il caso in cui l’esponente sia un numero razionale; cosa significa am/n? Significa calcolare la radice n-esima di am, cioè am/n=n√am.
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