I numeri primi sono numeri che possono essere divisi solo per 1 e per sé stessi. Essi si contrappongono ai numeri composti. Se un numero è divisibile per un altro, il resto della divisione è zero. Per esempio, 42 è divisibile per 1, per 2, per 3, per 7, per 6, per 14, per 21, per 42. Ciò significa che 42 è un numero composto (ammette più divisori oltre a sé stesso e all’unità). Invece, 11 è un numero primo, perché è divisibile solo per 1 e per 11. In passato si era soliti includere anche l’1 (che è divisibile per 1 e per se stesso), ma oggi si preferisce escluderlo dall’elenco, che parte quindi dal 2.
Quali sono?
Non esiste un metodo per sapere se un numero è primo oppure no, se non provando con strategie comunque empiriche. Per esempio, sappiamo che i pari (che non sono primi) perché divisibili per 2 terminano per 0, 2, 4, 6 od 8. I numeri divisibili per 3 sono tali per cui la somma delle loro cifre è divisibile per 3 (per esempio, 9201 lo è). I numeri divisibili per 5 terminano per 5 o per 0. Quindi possiamo già dire che
condizione necessaria per cui un numero sia primo è che termini con 1, 3, 7 o 9 e la somma delle sue cifre non sia divisibile per 3.
Esistono altri criteri di divisibilità; per esempio:
- un numero con più di due cifre è divisibile per 7 se la differenza (presa in valore assoluto) del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o un multiplo di 7;
- un numero è divisibile per 11 se la differenza (presa in valore assoluto) tra la somma delle sue cifre di posto dispari e la somma delle sue cifre di posto pari è uguale a 0, a 11 o a un multiplo di 11;
- un numero con più di due cifre è divisibile per 13 se la somma del quadruplo della cifra delle unità con il numero formato dalle rimanenti cifre è 0, 13 o un multiplo di 13;
- un numero con più di due cifre è divisibile per 17 se la differenza (presa in valore assoluto), fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17.
Come si vede, i criteri diventano sempre più complessi e, attualmente, le tabelle vengono generate automaticamente con programmi che verificano semplicemente la divisibilità, un’evoluzione del crivello di Eratostene che ottiene i numeri primi da 1 a 100 semplicemente eliminando via via i numeri divisibili per 2, per 3 ecc.
Poiché ogni numero composto può essere visto come il prodotto di più numeri primi (42=2×3×7), per scomporre un numero a nei suoi fattori primi si usa un procedimento iterativo:
- si divide il numero per il più piccolo numero primo per cui è divisibile;
- il quoziente così ottenuto si divide a sua volta per il più piccolo numero primo per cui è divisibile;
- e così via finché si arriva a un numero primo.
- il numero a è pertanto uguale al prodotto dei numeri primi che sono serviti per le divisioni, compreso il numero primo ultimo risultato.
Per esempio, se consideriamo 42, il primo passo dà 2 con quoziente 21; il secondo (considerando 21) dà 3 con quoziente 7 che è primo, per cui 42=2×3×7.
Dati due numeri a e b, il loro massimo comun divisore (MCD) è dato dal prodotto dei fattori primi comuni ai due numeri; per esempio, il MCD di 568 (23×71) e 1470 (2×3×5×72) è incredibilmente solo il numero 2.
Tabella dei numeri primi
Si indica generalmente con tabella dei numeri primi semplicemente l’elenco di quelli inferiori a un determinato numero. Per esempio, la tabella dei numeri primi inferiore a 100 è formata da 25 numeri:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
La tabella dei numeri primi inferiori a 100
Approfondimenti
Esercizi sui numeri primi
1
Scomporre 63 nei suoi fattori primi
2
Quanti e quali sono tra questi i numeri primi?
3
25, 31, 44, 49, 95
4
Il prodotto di due numeri primi a e b, è ancora un numero primo?
5
Elencare tutti i numeri primi compresi tra 30 e 50
6
Elencare tutti i numeri compositi compresi tra 100 e 110
7
Dare un controesempio che dimostri che l’espressione
La somma di due numeri primi è sempre un numero primo
è falsa
8
Qual è il più alto numero primo a tre cifre?
Le soluzioni in fondo alla pagina
Ulteriori approfondimenti sui numeri primi
Due numeri primi si definiscono gemelli se sono separati da un solo numero pari, come la coppia 5 e 7 e la coppia 11 e 13. I numeri primi sono anche al centro di uno dei problemi irrisolti della matematica, la congettura di Goldbach, secondo la quale
ogni numero pari maggiore di due può essere scritto come la somma di due numeri primi
Per esempio, 50 è la somma di 37 e 13.
Esistono inoltre molte curiosità e leggende sui numeri primi. Per esempio,i pitagorici consideravano 2 un numero primo femminile (perché pari, tra l’altro è l’unico numero primo pari), mentre 3 il numero primo maschile (perché dispari). Di conseguenza, 5 era il numero primo del matrimonio, perché la somma di 3 e 2.
Altre peculiarità degne di nota sono per esempio che 11 è il più piccolo numero primo palindromo (cioè che può essere letto da entrambi i versi, da destra a sinistra o da sinistra a destra senza cambiare). Sempre i pitagorici consideravano 17 come un numero primo orribile, da cui forse la superstizione negativa legata al 17.
Soluzioni
1
63 = 32 X 7
2
Uno solo, il 7
3
Uno solo, il 31
4
No, in quanto divisibile anche per a e b
5
31, 37, 41, 43, 47
6
100, 102, 104, 105, 106, 108, 110
7
Controesempio: 3 e 7 lo sono, ma la loro somma, 10 non lo è
8
Partendo da 999 e procedendo per numeri decrescenti si ottiene che il primo numero primo è 997 (999 e 998 sono compositi)
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