L’insieme di numeri naturali, zero e numeri negativi costituisce l’insieme dei numeri interi.
I numeri naturali sono i numeri 1, 2, 3 ecc. Di ogni numero si può trovare il successivo fino all’infinito (indicato normalmente con ∞). Alla successione si premette usualmente lo zero (0).
I numeri naturali sono l’esempio più semplice di necessità degli assiomi in una teoria matematica. Un assioma è una proposizione o un principio che è assunto come vero in quanto evidente o perché crea il punto di partenza di una teoria. Per i numeri naturali valgono gli assiomi di Peano:
- Esiste un numero naturale, lo zero.
- Ogni numero naturale ha un numero naturale successore.
- Numeri diversi hanno successori diversi.
- Lo zero non è il successore di alcun numero naturale.
- Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l’intero insieme dei numeri naturali (assioma dell’induzione).
I primi quattro sono evidenti, mentre l’ultimo introduce un principio molto usato in matematica, il principio di induzione. L’idea intuitiva che ne sta alla base è quella dell’effetto domino: affinché le tessere allineate del domino cadano tutte è sufficiente che:
- cada la prima tessera;
- ogni tessera sia posizionata in modo tale che cadendo provochi la caduta della successiva.
In matematica, tale principio viene utilizzato al positivo:
se P è una proprietà che vale per il numero 0 e se dalla verità di P(n) discende quella di P(n+1), allora la proprietà P vale per ogni n.
Numeri negativi
La necessità di spostarsi a sinistra dello zero porta alla definizione di numero negativo. Per esempio, se su un conto bancario ci sono 100 euro e si stacca un assegno di 150 euro, il conto andrà a -50 euro con il segno meno che indica un conto in rosso, il debito verso la banca. Per definire i numeri negativi basta replicare specularmente attorno allo zero i numeri naturali:
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …
L’insieme così definito (numeri naturali, zero e numeri negativi) costituisce l’insieme dei numeri interi. -3 è l’opposto di 3. Per maggiore chiarezza, i numeri naturali possono essere preceduti dal segno +, indicando che essi sono numeri positivi.
Le operazioni
I numeri sono soggetti a operazioni (come vedremo, non solo gli interi e non solo i numeri si possono sottoporre a operazioni come somma, moltiplicazione ecc.). Un’operazione su due oggetti (operandi) li trasforma in un terzo oggetto; se è interna (per esempio, la moltiplicazione fra due numeri naturali) l’oggetto è dello stesso tipo dei due operandi, altrimenti (come nel caso della somma di due quadrati che origina un rettangolo) è detta esterna.
Per distinguere il segno del numero intero dal simbolo dell’operazione si può ricorrere a parentesi. Come vedremo, le parentesi stabiliscono anche la precedenza delle varie operazioni. Se, per esempio, voglio sommare il numero positivo 2 al numero negativo -3, posso scrivere:
(+2)+(-3).
I simboli di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione
Addizione e sottrazione
Addizione
Con la notazione m+n si indica la somma dei due numeri (addendi) m ed n. Il risultato si ottiene partendo da m e spostandosi a destra o a sinistra di n posizioni a seconda che n sia positivo o negativo. Per esempio:
(-3)+(+4)=+1.
L’addizione gode di alcune importanti proprietà.
Commutativa – Cambiando l’ordine dei fattori la somma non cambia: 5+4=4+5.
Associativa – Non ha importanza l’ordine con cui vengono eseguite le operazioni se queste coinvolgono solo somme: (5+4)+3=5+(4+3).
Come vedremo, vale anche la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.
Infine, lo zero è un elemento neutro rispetto all’addizione: a+0=a.
Per eseguire velocemente un’addizione fra numeri interi, si possono incolonnare gli addendi con la regola “unità sotto unità, decine sotto decine, centinaia sotto centinaia ecc.”. Poi si sommano le cifre di una stessa colonna, partendo da destra, cioè dalle unità e, nell’eventualità che il risultato della somma su di una qualsiasi di queste colonne sia maggiore o pari a 10, riportando le decine di questo risultato come ulteriore addendo sulla colonna immediatamente a sinistra a quella appena calcolata. Per esempio, 24+37 in colonna dà (4+7) -> 1 con il riporto di 1; il riporto sommato alle decine 2 e 3 dà 6. Per cui il risultato è 61.
Sottrazione
Con la notazione m-n si indica la sottrazione del numero n (sottraendo) dal numero m (minuendo); il risultato è detto differenza. Matematicamente è utile vedere la sottrazione come addizione dell’opposto del sottraendo. Quindi (-8)-(+4) si può vedere come (-8)+(-4), cioè -12.
La sottrazione non è né commutativa né associativa.
Moltiplicazione
Con la notazione mxn (oppure m·n oppure nei linguaggi di programmazione m*n) si indica la somma n volte del numero m. Il risultato è detto prodotto, i due termini fattori (il primo moltiplicando, il secondo moltiplicatore.
La moltiplicazione si usa anche per entità non numeriche (come le matrici) e, in tal caso, ha proprietà a sé.
Nelle espressioni in cui i due operandi non siano entrambi cifre, la x o il puntino si possono omettere e scrivere, per esempio, 4y.
La moltiplicazione gode di alcune importanti proprietà.
Commutativa – Cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia: 5×4=4×5.
Associativa – Non ha importanza l’ordine con cui vengono eseguite le operazioni se queste coinvolgono solo le moltiplicazioni: (5×4)×3=5×(4×3).
Distributiva – La moltiplicazione può essere distribuita fra i vari elementi di una somma: 5×(4+3)=5×4+5×3.
Ogni numero moltiplicato per 1 dà il numero stesso.
Ogni numero moltiplicato per 0 dà 0.
Nel caso in cui i fattori siano numeri dotati di segno (positivo o negativo), vale la regola che il prodotto è positivo se i due fattori hanno segno uguale, altrimenti è negativo, per cui il prodotto di due numeri negativi è positivo. Un esempio di numero negativo sono, per esempio, le perdite finanziarie o i periodi temporali rispetto al presente: se negli ultimi 2 anni ho perso 1000 euro, due anni fa avevo (-2)×(-1000)=2000 euro in più di ora.
Divisione e modulo
Divisione
La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione.
Più specificamente, se a×b=c (con b diverso da zero), allora a=c:b; a è il quoziente, b è il divisore (cioè la quantità che divide) mentre c è il dividendo (cioè la quantità da dividere).
La divisione per zero non viene definita.
In realtà, se consideriamo due interi generici, non è detto che esista un numero intero a che sia la divisione esatta fra c e b, cioè che a×b=c. Allora si introduce il concetto di resto, cioè, dati due numeri interi a e b, con b≠0, si deve trovare una coppia di interi q ed r (quoziente e resto) tali che a=b×q+r. Quando r=0, il risultato della divisione q viene talvolta detto quoto.
Per esempio, 7:3=2 con resto 1, infatti 7=3×2+1.
La divisione gode della proprietà invariantiva: il quoziente non cambia se dividendo e divisore sono moltiplicati per una stessa quantità diversa da zero (il resto invece risulta moltiplicato per quella quantità).
Supponiamo di dividere 653 (dividendo) per 18 (divisore). Cominciamo con il vedere quante volte il 18 sta nel 6 (la prima cifra di 653). Siccome 6 è più piccolo di 18, prendiamo le prime due cifre e vediamo quante volte 18 sta in 65. Per intuito si scopre che 18×3 fa 54 mentre 18×4 fa 72 quindi il 18 in 65 ci sta 3 volte con il resto di (65-54)=11. Ora scriviamo 3 a destra dell’uguale e 11 sotto a 65 e facciamo scendere la cifra successiva, ottenendo 113. Il 18 quante volte sta nel 113? Sempre procedendo per intuito (o per prove successive) otteniamo 6 con il resto si 5 (6×18 fa 108). La divisione è finita, il risultato è 36 con il resto di 5.
653:18=36
113
5
Come si può comprendere, fare le divisioni velocemente è tanto più facile quanto più si conoscono le moltiplicazioni e la tavola pitagorica.
Modulo
Si definisce modulo di a e si scrive |a|, il numero a se a è positivo e (-a), cioè a cambiato di segno, se a è negativo. Il modulo risulta pertanto un numero sempre positivo.
Indice materie – Matematica – Aritmetica – Numeri interi
