I numeri complessi sono formati da due parti, una parte reale e una parte immaginaria, e sono rappresentati dall’espressione
a+ib
dove a e b sono numeri reali, mentre i è l’unità immaginaria. Quest’ultima si definisce partendo dalla radice quadrata di un numero negativo.
Partiamo considerando la radice quadrata di -1. Si definisce il valore i, l’unità immaginaria, il numero complesso che gode della seguente proprietà:
i2= – 1
Un altro modo per definire l’unità immaginaria è dire che è pari alla radice quadrata di -1:
Affrontiamo ora il problema di trovare la radice di un numero negativo. Sappiamo che la radice di 16 sono due numeri reali, +4 e -4, ma la radice di -16?
La radice di -16 si esprimerà quindi come ±4i; non ha parte reale (cioè manca a) ed è rappresentata dal numero immaginario 4i (positivo e negativo).
Due numeri complessi che hanno la stessa parte reale, ma parte immaginaria di segno opposto si dicono coniugati. Per esempio, 2+3i è coniugato di 2-3i.
Come i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, quelli complessi sono in corrispondenza con i punti del piano (piano complesso o di Argand-Gauss): al numero complesso a+ib si associa il punto di coordinate cartesiane (a,b). Nel piano complesso l’unità immaginaria ha coordinate (0,1).
Equazioni e numeri complessi
Si consideri l’equazioene di secondo grado
x2 + 1 = 0
Tale equazione non ha soluzione nel campo dei numeri reali, ma in quello dei numeri complessi; infatti si risolve con due radici distinte:
+i e -i
Operazioni fra numeri complessi
Una volta conosciute le operazioni fra polinomi, è possibile eseguire facilmente operazioni fra numeri complessi.
Addizione e sottrazione – Si sommano (sottraggono) rispettivamente la parte reale e quella immaginaria; (3+3i)+(4-2i) fa 7+i.
Prodotto – Il prodotto fra due numeri complessi si ottiene considerando il numero complesso come polinomio di cui i è la parte letterale e ricordando che i2=-1. Per esempio, (3-2i)(4+2i)=12+6i-8i+4 (ricordando che -4i2=4)=16-2i.
Quoziente – Il quoziente fra due numeri complessi si ottiene considerando il numero complesso come polinomio di cui i è la parte letterale e ricordando che i2=-1. Per esempio, (3-2i)/(4+2i) non sarebbe ulteriormente semplificabile considerando numeratore e denominatore come polinomi, ma se razionalizzo (cioè moltiplico sopra e sotto per 4-2i, il denominatore con la parte immaginaria cambiata), ecco che ottengo (3-2i)(4-2i)/(4+2i)(4-2i)=(3-2i)(4-2i)/20=(8-14i)/20=0,4-0,7i.
Approfondimenti
Esercizi sui numeri complessi
Calcolare
1
i5
2
i3 + i6 +i9
3
(5 – 3i)(7 + 2i)
4
(6 – 5i)(2 – 3i)
5
(3 – i)(4 + 3i)(5 – 2i)
6
(–3 + 2i)(3 – 8i)
7
3i(4 – 2i)(5 + 2i)
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Le soluzioni in fondo alla pagina
Ulteriori approfondimenti: i numeri complessi in fisica
I numeri complessi sono molto utili non solo in matematica, ma soprattutto in fisica, in ingegneria, in elettronica ecc.; per esempio, il concetto di resistenza elettrica può essere generalizzato in quello di impedenza, dove la parte reale è la resistenza R, associata a fenomeno di tipo dissipativo, e quella immaginaria rappresenta la reattanza X, associata a fenomeni elettrici di accumulo: Z=R+jX (in fisica l’unità immaginaria si rappresenta con j).
In fisica, i numeri complessi sono utili per descrivere la natura dei moti ondulatori, mentre in ingegneria compaiono nell’analisi di segnali. Un altro esempio è l’espressione tra campo elettrico e campo magnetico associato: invece di descriverli come unità reali distinte, si possono scrivere come una unità reale (campo elettrico) e una immaginaria (campo magnetico) di un numero complesso.
Soluzioni
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i
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