Un monomio è un’espressione algebrica costituita da un coefficiente e da una parte letterale dove non compaiono somme o addizioni. Sono monomi: 3x, -2x2y, 2x2y-3.
A volte il coefficiente può contenere delle costanti non numeriche, indicate anch’esse con lettere. Per esempio, 4ax3 può indicare un monomio con coefficiente 4a e parte letterale x3. In queste soluzioni miste si usano in genere le prime lettere dell’alfabeto per indicare delle costanti e le ultime per indicare le variabili.
Un monomio senza parte letterale è detto costante.
Il grado di un monomio è la somma algebrica degli esponenti della parte letterale; per esempio, 5x2y ha grado 3 (esponente 2 per x e 1 per y).
I monomi aventi la stessa parte letterale, con gli stessi esponenti, si dicono monomi simili.
Operazioni fra monomi
Addizione e sottrazione – Si possono sommare (sottrarre) due monomi se sono simili e in tal caso si fa la somma (sottrazione) dei coefficienti numerici senza modificare la parte letterale. Per esempio, 5x+3x=8x.
Moltiplicazione – Il segno del risultato si ottiene seguendo le regole dei segni della moltiplicazione fra i numeri interi; se il segno è omesso si intende un segno positivo.
Il numero (coefficiente numerico) va moltiplicato con il numero secondo le regole del prodotto dei numeri razionali; se il numero è omesso si sottintende 1.
Le lettere vanno moltiplicate con le lettere secondo le regole delle potenze; se una lettera in un monomio è omessa si sottintende un esponente nullo.
Alcuni esempi (in algebra il segno della moltiplicazione può essere omesso):
(3x2)(4xy2z)= 12x3y2z
(6xy4z2)(5x2z)=30x3y4z3.
Divisione – In teoria valgono le stesse regole della moltiplicazione (solo che si divide anziché moltiplicare), ma occorre notare che non sempre la divisione è possibile. Lo è solo se il grado del monomio dividendo è maggiore di (o uguale a) quello del monomio divisore e quando le lettere che compaiono nel divisore si trovano, con grado maggiore o uguale, anche nel dividendo. Per esempio, 4x2y non è divisibile per 4xz, mentre (-4x2y)/(2x) dà come risultato -2xy.
Elevamento a potenza – Anche per i monomi, elevare a potenza n-esima significa moltiplicare n volte il monomio base. La potenza di un monomio è il monomio che ha per coefficiente la potenza del coefficiente e per parte letterale la potenza di ciascun fattore letterale del monomio. Si noti che se il segno è positivo resta ovviamente positivo, mentre se è negativo resta negativo solo se l’esponente è dispari. Per esempio, (-3x2y) 3 è uguale a -27x6y3.
Minimo comune multiplo – Il minimo comune multiplo (m.c.m.) tra due monomi è il monomio di grado minimo che è divisibile per i due dati.
La parte letterale del m.c.m. è data da tutte le lettere, comuni e non comuni, dei monomi con il loro massimo esponente. Il coefficiente invece è il m.c.m. dei coefficienti quando è possibile calcolarlo, altrimenti 1 (se, per esempio, un coefficiente è frazionario).
Per esempio, il m.c.m. di (6x2y, 4xy2) è 12x2y2.
Massimo comun divisore – Il massimo comune divisore (M.C.D.) tra due monomi è definito come quel monomio di grado massimo che divide i due dati.
La parte letterale del M.C.D. è data dalle lettere comuni prese con l’esponente minimo; il coefficiente è il M.C.D. dei coefficienti, se è possibile calcolarlo, altrimenti è 1.
Per esempio, il M.C.D. di 12x2y4z3 e 4xy5z2 è 4xy4z2.
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