Il logaritmo è l’esponente della potenza al quale bisogna elevare un numero costante (base) per ottenere un determinato numero (argomento); i logaritmi godono di molte proprietà che ne semplificano il calcolo. Applicando la definizione, per esempio, il logaritmo in base 2 di 8 è 3 perché 23=8. Viene indicato con l’espressione log28 e, come detto, il valore dell’espressione è 3. In questo caso, 2 è la base e 8 è l’argomento del logaritmo.
Per essere definito, la base deve essere un numero reale positivo diverso da 1 e l’argomento deve essere un numero reale positivo. Anche il logaritmo di zero non è definito.
Dalle proprietà delle potenze si deduce che:
- loga1=0 perché qualunque sia la base a, a0=1
- logaa=1 perché qualunque sia la base a, a1=a
- loga(1/a)=-1 perché qualunque sia la base a, a-1=1/a.
Due sono le basi molto importanti nella matematica, la base 10 e la base e, dove e è il numero di Nepero, un numero irrazionale le cui prime cifre sono 2,71828. In genere sono espressi dai simboli log (per log10) e ln.
Dalle definizioni sopra esposte, si deduce che:
- se la base è maggiore di 1 (il caso più frequente, visto che di solito si ragiona in base 10 o in base e), se l’argomento è maggiore di 1, il logaritmo è positivo e crescente al crescere dell’argomento. Se l’argomento è minore di 1, il logaritmo è negativo e decrescente quanto più l’argomento si avvicina allo zero. Per esempio, log10100=2, log101000=3, log100,1=-1 ecc.
- se la base è minore di 1, se l’argomento è minore di 1, il logaritmo è positivo e crescente con l’avvicinarsi dell’argomento a zero. Se l’argomento è maggiore di 1, il logaritmo è negativo e crescente al crescere dell’argomento.
I logaritmi furono introdotti da Nepero e la loro utilità consiste nel fatto che con essi
è possibile trasformare prodotti in somme, quozienti in differenze, elevamenti a potenza in prodotti e calcoli di radici in quozienti; tutte le operazioni vengono molto semplificate.
Regole sui logaritmi
Valgono le seguenti regole:
loga(x·y)=logax+logay -> loga(2·8)=loga2+loga8
loga(x/y)=logax-logay -> loga(3/8)=loga3-loga8
loga(xn)=nlogax -> loga(24)=4loga2
loga(n√x)=logax/n.
Vale inoltre l’importante proprietà seconda la quale
Se loga(M) = loga(N) allora vale M=N
Approfondimenti
Esercizi sui logaritmi
Risolvere le seguenti identità secondo x:
1
log5 (4x +11) = 2
2
log3 (7x + 3) = log3 (5x + 9)
3
log(x-2) – log(2x -3) = log(2)
4
ln(6x-5) = 3
Calcolare i valori dei seguenti logaritmi:
5
log3(27)
6
log4(16)
7
log27(3)
8
log(20) + log(50)
9
log(500) – log(5)
Le soluzioni sono in fondo alla pagina.
Righello logaritmico
La scala logaritmica
Molti strumenti sono tarati in scala logaritmica perché le grandezze da rappresentare possono crescere molto rapidamente. Se, per esempio, i dati che abbiamo vanno da 0 a 10000, in una scala lineare risulterebbero troppo sparsi, mentre in una scala logaritmica gli intervalli di suddivisione sarebbero, per esempio, 10, 100, 1000, 10000 con il valore 1000 corrispondente alla terza tacca e il valore 10000 alla quarta.
Un esempio è rappresentato dalla scala Richter per i terremoti. Nella scala Richter il valore di magnitudo 0 è stabilito come quello di un terremoto che sul sismografo standard, posto a 100 km di distanza dall’epicentro, produce un sismogramma con un’ampiezza massima di 0,001 mm. Ogni volta che l’ampiezza massima registrata cresce 10 volte rispetto al valore precedente, il valore di magnitudo sale di una unità. Quindi:
M= logA
dove M è la magnitudine, il logaritmo è in base 10 e A è l’altezza massima della sinusoide da 0 fino al picco in micron (µ). Un terremoto di magnitudo 5 è 100.000 più forte di un terremoto di magnitudo 0 e produce un sismogramma di ampiezza 100 mm, cioè 10 cm.
Soluzioni
1
2
7x + 3 = 5x + 9
7x – 5x = 9 -3
2x = 6
x = 3
3
4
5
log3(27)= 3
6
log4(16)=2
7
8
log(20) + log(50) = log(1000)= 3
9
log(500) – log(5) = log(100) = 2
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