Iperbole

L’iperbole è definita come

il luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Formule dell’equazione

L’equazione canonica (regolare) è analoga a quella dell’ellisse solo che invece del segno + ha il segno – (anche b è definito in modo opposto all’ellisse). In realtà, esistono diverse formule, a seconda che la curva intersechi l’asse delle ascisse o delle ordinate. Per un’iperbole con gli assi coincidenti con gli assi cartesiani e il centro quindi nell’origine, e che interseca l’asse delle ascisse, la formula è la seguente:

x²/a²-y²/b²=1, con a e b entrambi non nulli

Se invece la curva interseca l’asse delle ordinate, la formula diventa:

x²/a²-y²/b²= – 1, con a e b entrambi non nulli

Un’interessante proprietà è che nella forma canonica è una curva simmetrica rispetto all’origine, tutta compresa fra gli asintoti.

I parametri che caratterizzano questa conica sono:

Gli asintoti, di equazione:

y=bx/a e y=-bx/a.

L’eccentricità e=c/a che indica il ventaglio, l’apertura dei rami.

I vertici, che per una curva che interseca l’asse delle x hanno coordinate:

(-a, 0) e (+a, 0)

I fuochi, con coordinate:

(-c, 0) e (+c, 0) dove c è detta semidistanza focale e vale:

Nella figura sono rappresentati i due rami di un’iperbole che interseca l’asse delle ascisse e simmetrica rispetto agli assi cartesiani, centrata nell’origine:

Approfondimenti

Esercizi

1

Calcolare le equazioni degli asintoti dell’iperbole:

2

Calcolare le coordinate dei fuochi dell’iperbole:

3

Calcolare l’eccentricità dell’iperbole di equazione:

4

Calcolare coordinate di fuochi, vertici ed eccentricità dell’iperbole di equazione:

2x² – 3y² = 30

5

Calcolare coordinate di fuochi, vertici ed eccentricità dell’iperbole di equazione:

4x² – 3y² -8x – 8 = 0

Le soluzioni in fondo alla pagina

Ulteriori approfondimenti: l’iperbole equilatera

In un’iperbole equilatera le misure dei semiassi coincidono, ovvero a = b. La sua equazione pertanto è del tipo:

x² – y² = a²

nel caso in cui intersechi l’asse delle ascisse, oppure

x² – y² = -a²

nel caso in cui intersechi l’asse delle ordinate.

Se invece l’iperbole è tale per cui i suoi asintoti corrispondono agli assi cartesiani, allora l’equazione dell’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti si semplifica in

xy = k, con k sempre diverso da zero.

Il segno di k poi determina se la curva interseca la bisettrice del primo e terzo quadrante (k > 0) o quella del secondo e quarto quadrante (k <0).

Soluzioni

1

2

(-5.47, 5), (3.47, 5)

3

I parametri valgono a = 12, b = 9, c = 15 , pertanto l’eccentricità è pari a 15/12 ovvero 5/4

4

L’equazione si riscrive dividendo entrambi per 30:

5

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