Un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi a e b. Gli estremi possono (ma non necessariamente) appartenere all’intervallo; in questo caso l’intervallo si dice chiuso (I[a,b]), altrimenti si dice aperto ((I]a,b[). Nella scrittura che indica l’intervallo si noti il diverso posto delle parentesi, mischiando le quali si può avere un intervallo chiuso a destra (e aperto a sinistra) o un intervallo chiuso a sinistra (e aperto a destra).
Un intervallo è un intorno chiuso di tutti i punti contenuti al suo interno. Si considerino, per esempio, i punti 1, 3, 5 sulla retta reale. L’intervallo [1,5] è un intorno del punto 3, è un intervallo destro di 1 e sinistro di 5.
Un concetto molto importante in analisi è quello di punto d’accumulazione: un punto d’accumulazione di un insieme di punti contiene sempre in un qualunque suo intorno almeno un punto dell’insieme diverso da esso.
Il concetto di punto d’accumulazione diventa chiaro se si considera, per esempio, una successione del tipo 1, 1/2, 1/4 ecc. dove ogni elemento si ottiene dividendo per 2 il precedente. Se si procede verso lo zero, per come è stata costruita la successione, attorno allo zero ci saranno infiniti punti per quanto si prenda piccolo l’intervallo intorno allo zero. Gli elementi della successione “si accumulano” attorno allo zero.
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