Un gruppo è un insieme G munito di una operazione binaria * che a ogni coppia di elementi a e b di G associa un elemento appartenente a G tale che valgano:
- proprietà associativa: dati a, b, c appartenenti a G vale (a*b)*c=a*(b*c);
- esistenza dell’elemento neutro: esiste in G un elemento neutro n rispetto all’operazione *, cioè tale che a*n=n*a=a per ogni a appartenente a G;
- esistenza dell’inverso: a ogni elemento a di G è associato un elemento a’, detto inverso di a, tale che a*a’=a’*a=n.
In sostanza, un gruppo è un monoide (semigruppo con elemento neutro) nel quale esiste anche l’inverso.
Un gruppo si chiama commutativo (o abeliano) se vale anche a*b=b*a per ogni coppia a e b di elementi di G.
Esempio: l’insieme dei numeri interi munito dell’addizione è un gruppo abeliano. Si noti che è importante considerare anche i numeri negativi perché altrimenti non esisterebbe l’inverso (l’inverso di 4 è -4; la somma dei due numeri dà l’elemento neutro, lo zero).
Semigruppi
Un semigruppo è un insieme S su cui sia definita un’operazione interna associativa tale che per ogni elemento a, b, c di S vale (a⋇b)⋇c=a*(b*c).
Se l’operazione è anche commutativa (a*b=b*a per ogni coppia a e b) il semigruppo si dice commutativo o abeliano; se è dotato di elemento neutro si chiama monoide.
Esempio: l’insieme dei numeri interi positivi munito dell’addizione.
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