Equazioni esponenziali

Le equazioni esponenziali, quelle in cui le incognite compaiono all’esponente, sono particolarmente complesse. Un esempio è quello sottostante:

La soluzione è in fondo alla pagina

La funzione esponenziale

Ricordando la definizione di logaritmo, chiameremo funzione esponenziale il suo inverso, cioè se log_ax=y, y=a^x sarà la funzione esponenziale. Molto spesso può capitare che si debba trovare y a partire da relazioni in cui l’incognita x è all’esponente. Per esempio, vediamo come risolvere l’equazione

3^x+1=4^x+3.

Mettiamo entrambi i termini alla stessa potenza: 3·3^x=4³·4^x.

Se ora si prende il logaritmo di entrambi i membri, avremo log(3·3^x)=log(4³·4^x), cioè per le regole dei logaritmi: log3+xlog3=3log4+xlog4. Da cui: x(log4-log3)=log3-3log4. La soluzione sarà: x=(log3-3log4)/log4-log3).

La soluzione della prima equazione

Sappiamo che 27 = 3³. Possiamo fare in modo che le basi siano le stesse:

3³/ (3^-x) = 3⁶

Sappiamo che a^m/aⁿ = a^{m – n}.

3^{3 – (-x)} = 3⁶

3^{3 + x} = 3⁶

Ora le basi su entrambi i membri sono le stesse. Quindi possiamo impostare gli esponenti in modo che siano uguali.

3 + x = 6

x=3.

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