Le coniche (anche sezioni coniche) sono curve algebriche che si ottengono intersecando la superficie di un cono retto indefinito con un piano non passante per il vertice; a seconda dell’angolo formato dal piano con l’asse del cono si hanno l’ellisse, la circonferenza, la parabola e l’iperbole (coniche generali o non degeneri).
Supponiamo di considerare un cono (che potremmo pensare generato da tutte le rette che congiungono i punti di una circonferenza con un punto non giacente nel piano della circonferenza stessa, detto vertice; l’asse del cono è la perpendicolare del vertice sulla circonferenza; le rette sono dette generatrici) e di tagliarlo con una lama piana. A seconda dell’angolo di incidenza della lama otterremo diverse figure geometriche.
- Ellisse: si ottiene intersecando il cono con un piano che con il suo asse forma angoli compresi fra 0 e 90°; ciascuna di tali intersezioni appartiene a una sola delle due falde del cono ed è una curva chiusa.
- Circonferenza: caso particolare di ellisse ottenuta dall’intersezione del cono con un piano perpendicolare al suo asse, è anch’essa curva chiusa.
- Parabola: si ottiene per intersezione del cono con un piano parallelo a una delle sue rette generatrici (l’angolo formato con l’asse della conica è nullo); ogni parabola appartiene a una sola delle falde del cono e non è una curva chiusa.
- Iperbole: si ottiene per intersezione del cono con un piano che formi con il suo asse un angolo inferiore a zero; anche l’iperbole è una curva aperta e, siccome il piano interseca entrambe le falde del cono, essa si bipartisce in due sottoinsiemi connessi detti rami della conica.
Le sezioni coniche
L’equazione generica di una conica è un’equazione di secondo grado ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0.
L’espressione Δ=b2-4ac consente di capire che tipo di curva è rappresentata dall’equazione.
- se Δ>0 è un’iperbole
- se Δ<0 è un’ellisse (caso particolare la circonferenza)
- se Δ=0 è una parabola.
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