Si consideri questo problema: 16 amici si ritrovano per una cena in compagnia e il locale dove hanno prenotato ha assegnato a ognuno di loro un posto specifico a tavola. Il primo ad arrivare è un po’ brillo per aver esagerato con l’aperitivo e, non accorgendosi dei segnaposti, si siede a caso in uno dei 16 posti liberi. Tutti gli altri, se trovano il loro posto libero, si siedono nella posizione assegnata altrimenti ne scelgono uno a caso tra gli altri. Che probabilità ha l’ultimo arrivato di trovare il suo posto libero?
Il giochino è molto importante perché serve a spiegare la differenza fra logica matematica e logica nativa. Il matematico partirebbe subito a risolvere il problema con un complesso formalismo, ineccepibile nel suo ambiente, ma non accessibile alla logica di gran parte delle persone. A questa critica il matematico darebbe una spiegazione “divulgativa”, magari non ineccepibile, ma sicuramente ragionevole. Per farlo si asterrebbe dall’usare il suo linguaggio, anche se non potrebbe astenersi dall’usare metodi appresi durante il suo percorso di studio (in questo caso l’induzione). In questo approccio è evidente il vantaggio (l’apprendere tecniche abbastanza vicine alla logica nativa che possono essere riutilizzate da tutti) e lo svantaggio (si richiede comunque una conoscenza che è al di fuori del concetto di logica nativa, il potere logico posseduto dall’uomo nella sua forma più pura, senza conoscenze aggiunte, in questo caso matematiche).
La soluzione matematica (divulgativa)
A prima vista sembra molto difficile riuscire a immaginare tutti gli scenari possibili, con sedici persone che si spostano di qui e di là. Per riuscirci è necessario utilizzare un criterio di semplificazione. Se il problema ci sembra troppo complesso, esaminiamolo in una sua parte; ovviamente tenendo conto delle semplificazioni, dovremo poi ricomplicarlo fino a tornare a quello originario. È un grave errore ritenere un risultato semplificato valido per la situazione di partenza senza la verifica che vale per essa: in fondo è un errore di generalizzazione.
Per fissare le idee, 1 sarà l’attore ubriaco che si siede a caso, e gli altri saranno 2, 3, … fino a n che è il nostro attore finale (n=16). Vedremo che per risolvere il problema bastano un pezzo di carta e la semplice nozione intuitiva di probabilità: se su n eventi possibili, m sono favorevoli, la probabilità che si verifichi un evento favorevole è m/n. Se da un’urna con 5 palline numerate da 1 a 5 devo estrarre il 4 la probabilità che ciò accada è 1/5, perché ho un evento favorevole su 5 possibili.
Scenario S2 – Cosa accade se gli attori sono solo due? I sottoscenari possibili sono due:
1 x
x 1
Cioè l’ubriaco si siede al posto 1 o al posto 2. Nel primo caso 2 sarà obbligato a sedersi al suo posto, nell’altro no. Nel primo caso la probabilità di vittoria (l’ultimo attore riesce a sedersi al suo posto) è 1, nel secondo 0. Poiché gli eventi possibili sono due e la somma dei casi favorevoli è 1, la probabilità di S2 è 1/2.
Scenario S3 – Cosa capita se passo a tre attori? I sottoscenari sono:
1 x x
x 1 x – sottoscenario intermedio
x x 1
Nel primo caso la probabilità di vittoria è 1, nell’ultimo è zero. Già siamo in grado di capire che nei sottoscenari in cui l’ubriaco si siede al suo posto la probabilità è 1, mentre in quella in cui si siede al posto dell’ultimo attore è 0. Ma cosa accade nel sottoscenario intermedio (la cui probabilità è una su tre)?
Il secondo attore può sedersi al primo posto o all’ultimo, cioè l due possibilità sono:
2 1 x
x 1 2
Nel primo caso la probabilità di vittoria è 1, nel secondo 0. Cioè nel sottoscenario intermedio la probabilità di vittoria è 1/2. Quindi su tre sottoscenari la probabilità di vittoria è 1+1/2+0=1,5. La probabilità di vittoria globale è 1,5/3 (3 è il numero dei sottoscenari possibili), cioè ancora 1/2.
Scenario S4 – Passiamo a 4 attori.
1 x x x
x 1 x x
x x 1 x
x x x 1
Il secondo e il terzo costituiscono i sottoscenari intermedi. Nel primo la PV è 1, nell’ultimo 0.
Analizziamo il secondo sottoscenario:
2 può sedersi in 3 posizioni:
2 1 x x
x 1 2 x
x 1 x 2
Notiamo che se togliamo 1, questo caso è analogo ad avere 3 attori (2, 3 e 4) in cui 2 è l’ubriaco. La probabilità di vittoria di 4 è, per quanto stabilito in S3, 1/2.
Analizziamo il terzo sottoscenario:
2 si siederà necessariamente al secondo posto e quindi notiamo che, se togliamo 1 e 2, questo sottoscenario è analogo a S2 con 3 (che funge da ubriaco) che si siederà o in prima o in ultima posizione. La PV è ancora 1/2.
Anche in S4 abbiamo quindi una probabilità favorevole di 1+1/2+/1/2+0=2 per 4 sottoscenari possibili, cioè una PV globale di 1/2.
Scenari successivi – Con 5 attori avremo:
1 x x x x
x 1 x x x
x x 1 x x
x x x 1 x
x x x x 1
Il primo scenario ha PV=1, l’ultimo come sempre PV=0; si constata immediatamente che i vari sottoscenari intermedi sono riconducibili agli scenari S4, S3, S2. Infatti se l’attore trova il posto sostanzialmente è come se non ci fosse. Generalizzando con N attori, il primo sottoscenario ha sempre PV=1, l’ultimo=0, gli altri avranno PV uguale a quella degli scenari N-1, N-2, … 2. Tali PV costruite a partire da S2 sono sempre 1/2 quindi anche la PV dello scenario N sarà 1/2.
Gli scenari sono l’insieme degli elementi che costituiscono un determinato ambiente e saperli analizzare permette di compiere scelte razionali
La soluzione di Dolly
Dolly, il mio cane, dotato di sola logica nativa, quando ha letto la soluzione matematica ha scosso la testa e ne ha proposta una più semplice.
Consideriamo N attori, il primo è l’invitato ubriaco che può sedersi in uno degli n posti. Se si siede nel posto 1 la PV è 1 perché l’ennesimo attore si siede al suo posto n; se si siede al posto n, la PV è zero; la probabilità dei due eventi è evidentemente la stessa. Eliminiamoli tenendo conto che abbiamo eliminato due eventi equiprobabili, uno con PV=0 e l’altro con PV=1, cioè con probabilità media = 0,5.
Cosa accade se l’attore 1 si siede nel posto m (sottoscenario m)?
1 … m … N
Gli attori da 2 a M-1 si siedono al loro posto e quindi sono ininfluenti. M trova il posto occupato e si comporta da ubriaco su N-M+1 posti, quelli ancora da considerare:
1 m+1 … N
Se occupa il primo si avrà probabilità PV=1; se occupa il posto n si avrà probabilità PV=0. Cosa accade nei sotto-sottoscenari intermedi? Supponiamo che si sieda in r (n>r>m). Gli attori da M+1 a R-1 si siedono al loro posto e sono quindi ininfluenti. R trova il posto occupato e si comporta da ubriaco su N-R+1 posti, quelli ancora da considerare:
1 R+1 … N
Procedendo in siffatto modo si arriverà all’ultimo invitato N che troverà libero o il posto 1 (PV=0) o il posto N (PV=1). In sostanza anche nel sottoscenario intermedio relativo al posto m abbiano sempre eliminato coppie di eventi equiprobabili con probabilità di vittoria uno PV=1 e l’altro PV=0. Quindi la probabilità di vittoria deve essere il 50%.
Fra l’altro il ragionamento di Dolly porta a concludere che l’invitato N finirà per sedersi o al posto 1 o al posto N!
Conclusioni
Ovviamente la logica nativa non può risolvere complessi problemi matematici, ma è sicuramente in grado di risolvere brillantemente la gran parte delle situazioni quotidiane.
Molte persone usano molto poco la loro logica nativa, tendendo a impiegarla a livello intuitivo con molte approssimazioni, sottoutilizzando la cilindrata del loro cervello per pigrizia o altro.
Esempi di logica intuitiva sono per esempio questi.
1) N finirà per sedersi o al suo posto o a quello di un altro quindi la probabilità è un mezzo.
2) N finirà per sedersi o al suo posto o a quello di un altro quindi la probabilità (visto che sono in sedici) è 1/16.
3) N finirà per sedersi al suo posto o a quello dell’ubriaco (ragionamento brillante, una parte del ragionamento di Dolly) quindi la probabilità è un mezzo.
L’errore di fondo dei tre ragionamenti è che si limitano a considerare i soli casi possibili, considerandoli equiprobabili; il ragionamento corretto si spinge oltre e dimostra effettivamente (caso 3) che hanno la stessa probabilità. Considerare gli eventi possibili dando per scontato che sono equiprobabili sarebbe come concludere che domani ho il 50% di probabilità di morire perché o muoio o non muoio.
Leggendo questo articolo, cosa può essere successo:
a) lo trovate troppo difficile, non siete arrivati in fondo. La vostra logica è molto carente Dovreste aver capito dalla premessa iniziale che decidere intuitivamente è molto pericoloso, soprattutto quando ci si trova di fronte a uno scenario imprevisto. L’incapacità di analizzare scenari è molto penalizzante.
b) Siete arrivati in fondo, ma ha richiesto molto tempo. Le basi ci sono, ma la razionalità deve essere allenata.
c) Avete preceduto la soluzione, la velocità di elaborazione degli scenari è stata “automatica”, così pure le deduzioni generali. Realisticamente, incamminandosi su uno dei due sentieri proposti, si impiegano non più di 10′ per arrivare alla soluzione. Avete un’ottima razionalità.
