Una formulazione classica del gioco dei compleanni è questa: quante persone devono esserci in una stanza perché ci sia almeno il 50% di probabilità che due di esse condividano lo stesso compleanno? Questo gioco è importante per diversi motivi; è al limite fra raziologia e calcolo classico delle probabilità, nel senso che
- molte persone sicuramente molto razionali probabilmente non riusciranno a risolverlo;
- viceversa molte persone statisticamente preparate (pur con qualche svarione) applicheranno il procedimento corretto, anche se raziologicamente non sono al top della propria intelligenza esistenziale;
- evidenzia l’importanza della condizione di applicabilità della definizione formale di probabilità (vedasi Capitolo 4 di Migliora la tua intelligenza).
Iniziando dal secondo punto, diverse soluzioni offerte anche da persone statisticamente preparate mi hanno veramente stupito perché iniziavano così: “compreso il 29 febbraio, ci sono 366 compleanni possibili in un anno”; seguiva poi la dimostrazione “corretta”. È evidente che l’evento “nascita al 29 febbraio” non è equivalente (condizione di applicabilità) a quello “nascita il 4 giugno” per la semplice esistenza degli anni bisestili.
Inoltre si possono nutrire giustificati dubbi sull’equivalenza dei vari mesi sulle nascite, cosicché il gioco diventa puramente teorico, mentre per una risposta pratica (raziologica) si dovrebbe ricorrere alla definizione empirica di probabilità e a dati sperimentali. Dal punto di vista psicologico, è interessante notare come chi non affronti il gioco razionalmente tenda a dare risposte collegate (ancorate, per questo si chiama effetto ancora) ai 365 giorni dell’anno, per esempio dimezzando (il 50%) il numero di giorni dell’anno. Come si vedrà la soluzione è molto lontano dall’ancora.
L’usanza di celebrare il proprio compleanno (ovvero la propria data di nascita) ha origine da antiche usanze pagane
Gioco dei compleanni – La soluzione teorica
In una festa sono riuniti i nati in un anno non bisestile; supponendo che i compleanni siano distribuiti uniformemente sull’anno, quante persone devono esserci alla festa perché ci sia almeno il 50% di probabilità che due di esse condividano lo stesso compleanno?
Da un punto di vista raziologico, partiamo calcolando la probabilità delle persone di non condividere lo stesso compleanno. Ovviamente la probabilità cercata è quella complementare a quella trovata.
Consideriamo la prima persona: che probabilità esiste che non condivida il compleanno con la seconda persona?
Tale probabilità è p=364/365, cioè 364 giorni sui 365 possibili. Aggiungiamo una terza persona; ci sono ora 363 giorni diversi dai compleanni delle prime due persone. La probabilità che le prime tre persone non condividano lo stesso compleanno è (probabilità composta): 364/365*363/365. Si continuano ad aggiungere persone finché la probabilità scende sotto al 50%. Si trova che la risposta al nostro problema è 23 persone, un numero sorprendentemente piccolo.
Con un foglio elettronico la descrizione del problema è pressoché immediata (è anche un test per vedere se sapete usare veramente un foglio elettronico!) e può essere implementata come utile esercizio. Si scopre per esempio che con un numero di presenti pari a 60 la probabilità che non ci siano compleanni comuni è solo dello 0,6% circa.
