La raziologia approva il suggerimento di alcuni statistici (fra cui Gigerenzer) di rappresentare i processi attraverso frequenze naturali piuttosto che attraverso probabilità numeriche. Infatti, al complicarsi dello scenario studiato, le leggi del calcolo delle probabilità possono diventare molto complesse e forse questo è uno dei motivi per cui gran parte della popolazione è statisticamente ignorante. Per spiegare questo importante concetto useremo un esempio tratto dal testo di Gigerenzer Quando i numeri ingannano.
Scenario – Studio della convenienza dello screening mammografico a donne di età compresa fra i 40 e i 50 anni. Statisticamente si sa che:
- la probabilità che una donna abbia il cancro al seno è dello 0,8%;
- se una donna ha il cancro al seno, la probabilità di mammogramma positivo è del 90%;
- se non ha il cancro, la probabilità che il suo mammogramma risulti comunque positivo è del 7%.
Ci chiediamo: dato un mammogramma positivo, che probabilità c’è che la donna abbia effettivamente il cancro?
Potrei dirvi che, conoscendo il teorema di Bayes, con una semplice calcolatrice, trovereste subito la risposta. Peccato che l’enunciazione del teorema di Bayes sia complessa a tal punto da disincentivare la maggior parte di chi non maneggia bene la statistica. Cercate “teorema di Bayes” su Wikipedia, leggete la voce e probabilmente vi verrà il mal di testa.
Ebbene, lo stesso problema affrontato ragionando con le frequenze naturali è molto più semplice e si risolve senza conoscere il teorema di Bayes! Vediamo come si fa.
Si parte da quello che in raziologia si chiama il campione dei casi possibili. In genere conviene sceglierlo abbastanza grande da evitare di troncare i numeri in gioco (0,4 donne non è molto bello; per mostrare che si ottiene lo stesso risultato teorico, ho preferito lasciare i numeri decimali, mentre nel suo testo Gigerenzer approssima all’unità). Nel nostro caso scegliamo 1.000 donne. Cosa accade?
1.000 donne
8 malate – 992 sane
7,2 (il 90%) positive – 0,8 (il 10%) negative – 69,44 positive (il 7%) – 922,56 negative (il 93%).
Quindi su 7,2+69,44 donne positive solo 7,2 sono malate; la probabilità è P=0,0939.
Morale: solo il 10% delle mammografie positive individua veramente una donna malata.
Il ricorso alle frequenze naturali permette di evitare le complicazioni del calcolo delle probabilità
Frequenze naturali: condizioni
La descrizione attraverso frequenze naturali dei problemi è il modo più semplice per risolverli. Condizioni necessarie sono che
- Il problema deve essere facilmente rappresentabile.
- Si devono possedere le basi statistico-matematiche per rappresentarlo.
Il primo punto è molto importante. Spiega perché impelagarsi in difficili quiz logico-matematici non serva granché ad aumentare la propria intelligenza razionale. In realtà, non aumenta la capacità di risolvere le situazioni in modo naturale, ma i problemi vengono risolti solo in base alle proprie competenze teoriche (statistiche, logiche, matematiche ecc.). Si veda questo articolo per comprendere come un difficile (nel senso che è risolto da pochi) gioco che descrive una situazione facilmente rappresentabile possa essere risolto in modo naturale.
Nell’esempio precedente il secondo punto richiedeva che fosse chiaro cosa significhi un’espressione del tipo “il 90% di”, quindi una conoscenza veramente elementare.
