Congettura di Goldbach

La congettura di Goldbach risale al 1742 quando il matematico tedesco la elaborò affermando che ogni numero pari maggiore di due si può esprimere come somma di due numeri primi. A oggi la congettura di Goldbach è indimostrata.

Congettura di Goldbach risolta more informatico

Questo il titolo di un mio lavoro che nel 1981 comparve sull’allora più diffusa rivista informatica. Allora mi occupai del problema non tanto per dimostrarlo, quanto per evidenziare i limiti di un approccio matematico alla realtà rispetto a uno più complesso, multidisciplinare, dove oltre alla matematica anche l’informatica, la fisica ecc. giocano un ruolo importante nella funzione decisionale del soggetto nella quotidianità. Mostrai come la congettura di Goldbach possa essere vista semplicemente come una traduzione deterministica di un fenomeno probabilistico con probabilità circa unitaria. In altri termini, i numeri primi sono così fitti nei naturali (cioè così numerosi) che la congettura ha un’altissima probabilità (prossima alla certezza) di essere vera.

Consideriamo un numero pari a; le coppie di numeri interi che danno a come somma si possono ottenere in modo banale costruendo la tabella:

Dalla tabella risulta evidente che a ogni numero dispari della prima colonna corrisponde un numero dispari nella seconda. Poiché cerchiamo le coppie di addendi primi (e quindi dispari) la nostra ricerca sarà limitata alle righe dispari della tabella.

Le righe della tabella ridotta siano z.

Se a è multiplo di 4, z = a/4; se a è pari, ma non è multiplo di 4, z = (a-2)/4.

I numeri primi della prima colonna siano s, quelli della seconda siano n. Vogliamo calcolare la probabilità che esista almeno una coppia di numeri primi (che cioè la congettura di Goldbach sia vera).

Prima di esporre la probabilità totale (cioè per ogni numero pari) della congettura, facciamo un semplice esempio. Supponiamo di lanciare contemporaneamente una moneta e un dado: che probabilità c’è che esca il numero 4 e che la moneta venga testa? Poiché il lancio della moneta e quello del dado sono eventi indipendenti, la probabilità richiesta è:

p = 1/6 (pr. che esca il 4) * 1/2 (pr. che la moneta sia testa) = 1/12

Analogamente se p_i è la probabilità per l’i-esimo numero pari, la congettura di Goldbach per i primi r numeri avrà probabilità P di essere vera:

P = ₁Л^r p_i

cioè P è il prodotto di tutte le probabilità parziali per i numeri pari non superiori a r.

Per fissare le idee supponiamo a = 34; la tabella ridotta che si ottiene è la seguente:

Nella prima colonna esistono 7 numeri primi su 9 righe, nella seconda 5 numeri primi. Scandiamo la prima colonna, 1 è un numero primo. Che probabilità esiste che il numero accoppiato a 1 per dare 34 sia primo? Tale probabilità è data dagli eventi favorevoli (5) diviso gli eventi possibili (9) e cioè 5/9.

La congettura di Goldbach è uno dei più antichi problemi irrisolti della teoria dei numeri

Supposto (come in effetti è) che il numero accoppiato a 1 non sia primo (probabilità complementare a quella che lo sia, cioè 1-5/9 = 4/9), si passa al secondo numero primo della prima colonna e ci si chiede che probabilità ha di essere accoppiato a un numero primo nell’eventualità che la prima riga non abbia soddisfatto la congettura. Se non ha soddisfatto la congettura vuol dire che il primo elemento della seconda colonna non era primo, quindi restano 8 righe con ancora 5 numeri primi. La possibilità che la seconda riga soddisfi la congettura se non lo ha già fatto la prima è perciò 5/8. La probabilità che almeno la prima riga o la seconda riga soddisfino alla congettura è data da:

probabilità che la prima riga soddisfi alla congettura + probabilità che la seconda riga la soddisfi nell’eventualità che non lo faccia già la prima.

Perciò P₃ = 5/9 + 4/9*5/8 = 5/6.

Definiamo righe interessanti le righe con un numero primo nella colonna. Generalizzando, sia z il numero delle righe della tabella ridotta, s quello dei numeri primi della prima colonna, n quello dei numeri primi della seconda colonna, la probabilità che le prime q (ovviamente q < z) righe interessanti soddisfino la congettura è:

P_q=P_q-1 + (1-P_q-1)*n/(z+1-q) con P₀ = 0.

Se si pone q = s si calcola la probabilità che la congettura sia vera per l’intero a. Ovvio che se n + s > z la probabilità è 1.

Con un semplice programma (vedi più avanti) su qualunque computer è possibile calcolare la probabilità totale (probabilità di Goldbach) per numeri pari fino a 10⁵ o 10⁶. Sorprendentemente è molto prossima all’unità.

Il significato della “risoluzione” informatica

Quando il mio lavoro comparve sull’allora rivista di informatica più diffusa d’Italia, il titolo scelto dal direttore responsabile fu Goldbach risolto more informatico. Il titolo non poteva essere più azzeccato perché mostrava il diverso approccio alla realtà di un informatico rispetto a quello di un matematico. Per un matematico che lavora in un insieme di interi infinito la congettura resta misteriosa, per un informatico che comunque lavora nell’insieme finito di interi del suo computer perde invece molto del suo fascino perché potrebbe non essere altro che un abbaglio, lo scambio di un curioso evento probabilistico per un “teorema”.

Di seguito il semplice programma in VBScript che ha dato una probabilità superiore a 0,9999969 per a=100.000. Il programma legge un file txt con i numeri primi da 5 in poi ottenuti dal sito The Primes Pages; nel file ogni numero primo è una riga. Il tempo di elaborazione è stato di circa 10′.

Ovviamente, ottimizzando il programma, è possibile estendere maxnum (si dovrà ricostruire il file primidb.txt caricando una tabella di numeri primi compatibile con il nuovo maxnum impostato, cioè i numeri primi fino a maxnum). Inoltre è possibile calcolare la probabilità parziale per a compreso fra X e Y semplicemente ponendo maxnum=Y e cambiando l’istruzione del ciclo principale con For pari=X to maxnum Step 2.

Per esempio, la probabilità di validità della congettura di Goldbach per i pari fra 98.000 e 100.000 differisce da 1 di 2,22*10^-13.

• <%@ Language=VBScript %>
• <% Option Explicit %>
• <%
• ‘ inizializzazione e calcolo numeri primi
• Dim objOpenFile, objFSO, strPath, icont, primi(9592), totale, pari, bp, s, n, maxnum, numprimi, parz, cnum, z, wnum
• StrPath=Server.MapPath(“primidb.txt”)
• Set objFSO=Server.CreateObject(“Scripting.FileSystemObject”)
• Set objOpenFile=objFSO.OpenTextFile(strPath,1)
• maxnum=100000
• ‘il numero di primi nei primi maxnum interi
• numprimi=9592
• icont=3
• primi(0)= 1
• primi(1)=2
• primi(2)=3
• totale=1
• Do While Not objOpenFile.AtEndOfStream
• primi(icont)=Clng(objOpenFile.ReadLine)
• icont=icont+1
• Loop
• objOpenFile.Close
• Set objOpenFile=Nothing
• Set objFSO=Nothing
• ‘ corpo centrale del programma
• For pari= 6 to maxnum Step 2
• bp=pari/2
• ‘znum è il numero di righe della tabella ridotta
• z=(pari+2)/4
• If int(pari/4)*4=pari Then
• z=pari/4
• End If
• ‘ calcolo di s ed n
• s=0
• n=0
• icont=0
• Do While primi(icont)<bp

  s=s+1

• icont=icont+1
• Loop
• If primi(icont)= bp Then
• s=s+1
• End If
• Do While (primi(icont)<pari)
• n=n+1
• icont=icont+1
• If icont=numprimi Then
• Exit Do
• End If
• Loop
• ‘ si toglie il numero 2 che non è dispari
• s=s-1

• ‘ calcolo probabilità parziale

• parz=0
• For icont=1 to s
• cnum=z-icont+1
• wnum=(1-parz)*(n/cnum)
• parz=parz+ wnum
• Next
• ‘ aggiornamento della probabilità totale
• totale=totale*parz
• Next